Para cada uma das sequências \left(x_{n}\right), tome l, \varepsilon \in \mathbb{R} dados, com \varepsilon>0, e obtenha um n_{0} \in \mathbb{N}, tal que \left|x_{n}-l\right|<\varepsilon para todo n>n_{0}. x_{n}=\frac{1}{(n+2)^{3}}, l=0 e \varepsilon=0,0002.
Passo 1
O enunciado pede mostrar, pela definição de limite de sequência, que para todo \varepsilon>0 existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, se n>n_{0}, então
\bigl|x_{n}-l\bigr|<\varepsilon.
Aqui temos x_{n}=\frac{1}{(n+2)^{3}}, l=0 e \varepsilon=0,0002. Vamos encontrar n_{0}.
Passo 2
Aplicamos a condição \bigl|x_{n}-l\bigr|<\varepsilon. Como l=0, isso vira
\frac{1}{(n+2)^{3}}<\varepsilon.
Passo 3
Invertemos a desigualdade (tudo positivo), obtendo
(n+2)^{3}>\frac{1}{\varepsilon}.
Passo 4
Calculamos o valor de \tfrac1\varepsilon e sua raiz cúbica: