Para cada uma das sequências \left(x_{n}\right), tome l, \varepsilon \in \mathbb{R} dados, com \varepsilon>0, e obtenha um n_{0} \in \mathbb{N}, tal que \left|x_{n}-l\right|<\varepsilon para todo n>n_{0}.
x_{n}=\frac{1}{(n+2)^{3}}, l=0 e \varepsilon=0,0002.

Passo 1

O enunciado pede mostrar, pela definição de limite de sequência, que para todo \varepsilon>0 existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, se n>n_{0}, então
\bigl|x_{n}-l\bigr|<\varepsilon.
Aqui temos x_{n}=\frac{1}{(n+2)^{3}}, l=0 e \varepsilon=0,0002. Vamos encontrar n_{0}.

Passo 2

Aplicamos a condição \bigl|x_{n}-l\bigr|<\varepsilon. Como l=0, isso vira
\frac{1}{(n+2)^{3}}<\varepsilon.

Passo 3

Invertemos a desigualdade (tudo positivo), obtendo
(n+2)^{3}>\frac{1}{\varepsilon}.

Passo 4

Calculamos o valor de \tfrac1\varepsilon e sua raiz cúbica:
\frac{1}{\varepsilon}=\frac{1}{0,0002}=5000, \qquad \sqrt[3]{5000}\approx17,099.
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n+2>\sqrt[3]{5000}\approx17,099 \quad\Longrightarrow\quad n>17,099-2=15,099.

Passo 5

Como n é inteiro, basta tomar n_{0}=15. Então para todo n>15 temos n\ge16 e
(n+2)^{3}\ge18^{3}=5832 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{(n+2)^{3}}\le\frac1{5832}\approx0,0001715<0,0002,
o que garante \bigl|x_{n}-0\bigr|<\varepsilon.

Resposta

Um valor que funciona é
n_{0}=15.

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