Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas.
\left(\frac{10^{n}}{n!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n = \frac{10^n}{n!}
é monótona. Vamos usar o critério da razão entre termos consecutivos, que diz que se
\frac{a_{n+1}}{a_n}>1
então a sequência é crescente em n, se for igual a 1 é constante e se for menor que 1 é decrescente.

Passo 2

Calculemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{10^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{10^n}{n!}} = \frac{10^{n+1}}{10^n}\;\frac{n!}{(n+1)!} = 10\;\frac{1}{n+1} = \frac{10}{n+1}.

Passo 3

Agora analisamos quando essa razão é maior, igual ou menor que 1:
  • \displaystyle \frac{10}{n+1}>1 se, e só se, n+1<10, ou seja, n<9.
  • \displaystyle \frac{10}{n+1}=1 quando n+1=10, isto é, n=9.
  • \displaystyle \frac{10}{n+1}<1 se n+1>10, ou seja, n>9.

Passo 4

Dessa forma:
  • Para n=1,2,\dots,8 temos \tfrac{a_{n+1}}{a_n}>1, então (a_n) é crescente nesses termos.
  • Para n=9 temos \tfrac{a_{10}}{a_9}=1, logo a_{10}=a_9.
  • Para n\ge10 temos \tfrac{a_{n+1}}{a_n}<1, então a sequência torna-se decrescente a partir de n=10.

Resposta

A sequência não é monótona em todo seu domínio. Ela cresce para n<9, fica constante entre n=9 e n=10, e decresce para n>9.

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