Para cada uma das sequências \left(x_{n}\right), tome l, \varepsilon \in \mathbb{R} dados, com \varepsilon>0, e obtenha um n_{0} \in \mathbb{N}, tal que \left|x_{n}-l\right|<\varepsilon para todo n>n_{0}.
x_{n}=\frac{2 n^{2}+2}{n^{2}+3 n+2}, l=2 e \varepsilon=10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, para a sequência
x_{n} = \frac{2n^{2}+2}{n^{2}+3n+2},
que ela converge para l=2, obtendo um n_{0}\in\mathbb{N} tal que
\lvert x_{n}-2\rvert<\varepsilon \quad\text{para todo }n>n_{0},
onde \varepsilon=10^{-5}. O conteúdo é a definição de limite de sequência em \mathbb{R}.

Passo 2

Calculemos explicitamente a diferença \lvert x_{n}-2\rvert:
x_{n}-2 = \frac{2n^{2}+2}{n^{2}+3n+2} - 2 = \frac{2n^{2}+2 - 2(n^{2}+3n+2)}{n^{2}+3n+2} = \frac{-6n -2}{n^{2}+3n+2}.
Logo,
\lvert x_{n}-2\rvert = \frac{6n+2}{n^{2}+3n+2}.

Passo 3

Para facilitar, usamos as desigualdades
n^{2}+3n+2 > n^{2}, \quad 6n+2 < 8n \quad(\text{para }n\ge1),
de modo que
\lvert x_{n}-2\rvert = \frac{6n+2}{n^{2}+3n+2} < \frac{8n}{n^{2}} = \frac{8}{n}.

Passo 4

Queremos \lvert x_{n}-2\rvert<\varepsilon. Basta garantir
\frac{8}{n} < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{8}{\varepsilon}.

Passo 5

Substituindo \varepsilon=10^{-5}, obtemos
\frac{8}{\varepsilon} = 8 \times 10^{5} = 800\,000.
Logo, basta tomar
n_{0} = 800\,000.

Resposta

Para todo n>800\,000 vale
\lvert x_{n}-2\rvert<10^{-5}. Portanto, pode-se escolher n_{0}=800\,000.

Exercícios relacionados