Para cada uma das sequências \left(x_{n}\right), tome l, \varepsilon \in \mathbb{R} dados, com \varepsilon>0, e obtenha um n_{0} \in \mathbb{N}, tal que \left|x_{n}-l\right|<\varepsilon para todo n>n_{0}.
x_{n}=\frac{n-1}{n+2}, l=1 e \varepsilon=0,001.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
x_{n} = \frac{n-1}{n+2}
converge para l=1 segundo a definição: dado \varepsilon>0, encontrar n_{0}\in\mathbb{N} tal que
\bigl|x_{n}-l\bigr|<\varepsilon \quad\text{para todo }n>n_{0}.

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
\bigl|x_{n}-1\bigr| =\left|\frac{n-1}{n+2}-1\right| =\left|\frac{n-1-(n+2)}{n+2}\right| =\frac{3}{n+2}.

Passo 3

Queremos
\frac{3}{n+2}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+2>\frac{3}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{3}{\varepsilon}-2.

Passo 4

Substituindo \varepsilon=0,001 obtemos
\frac{3}{0,001}-2 = 3000-2 = 2998,
logo basta escolher
n_{0}=2998,
pois para todo n>2998 vale \bigl|x_{n}-1\bigr|<0,001.

Resposta

n_{0}=2998

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