Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências, calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3 n^{2}+4 n-2}{2 n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência racional
\frac{3n^{2}+4n-2}{2n^{2}+1}
quando n\to+\infty. Vamos usar as propriedades de limite de soma, quociente e de monômios para determinar esse valor.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador pela maior potência de n, que é n^{2}, para evidenciar o comportamento assintótico:
\frac{3n^{2}+4n-2}{2n^{2}+1} =\frac{n^{2}\bigl(3+\tfrac{4}{n}-\tfrac{2}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)} =\frac{3+\tfrac{4}{n}-\tfrac{2}{n^{2}}}{2+\tfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Aplicamos o limite termo a termo nas frações que envolvem n:
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}}=0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.

Passo 4

Usando a propriedade de limite da soma e do quociente (desde que o limite do denominador seja não nulo), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{3+\tfrac{4}{n}-\tfrac{2}{n^{2}}}{2+\tfrac{1}{n^{2}}} =\frac{3+0-0}{2+0} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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