Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=3^infty 4(25)^n

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial
SN = sumn=3^N 4l(tfrac25r)^n
e a soma infinita da série (se convergir). O conteúdo é séries geométricas, aplicando a fórmula de soma de uma PG.

Passo 2

Observe que a série é geométrica de razão
r = 25
e primeiro termo (quando n=3)
a = 4l(tfrac25r)^3
O número de termos de n=3 até n=N é N-2.

Passo 3

A fórmula da soma dos primeiros m termos de uma PG de primeiro termo a e razão rneq1 é
Sm = a,1 - r^m1 - r
Aqui tomamos m = N-2, logo
SN = 4l(tfrac25r)^3,1 - l(tfrac25r)^,N-21 - tfrac25

Passo 4

Simplificando:
1 - 25 = 35, 4l(tfrac25r)^3 = 4cdot8125 = 32125
Então
SN = 32125,1 - l(tfrac25r)^,N-2tfrac35 = 32125cdot53,l(1 - l(tfrac25r)^,N-2r) = 3275l(1 - l(tfrac25r)^,N-2r)

Passo 5

Como l|tfrac25r|<1, vale
limNtoinftyl(tfrac25r)^,N-2 = 0,
logo a soma infinita converge para
Sinfty = limNtoinftySN = 3275

Resposta

SN = 3275l(1 - l(tfrac25r)^,N-2r), sumn=3^infty4l(tfrac25r)^n = 3275

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