Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=x^2+y^2-3 z

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y,z)=x^2+y^2-3z
O conteúdo principal é o de derivadas parciais, em que tratamos as variáveis não diferenciadas como constantes.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(x,y,z)=limhto0f(x+h,y,z)-f(x,y,z)h,
e de modo análogo para partial f/partial y e partial f/partial z.

Passo 3

Como y e z são constantes ao derivar em relação a x, e similarmente para as outras variáveis, obtemos:
partial fpartial x=2x,
partial fpartial y=2y,
partial fpartial z=-3

Passo 4

Para as derivadas parciais de segunda ordem, derivamos novamente cada derivada de primeira ordem em relação a cada variável. As mistas surgem quando derivamos, por exemplo, partial f/partial x em relação a y.

Passo 5

Calculando todas as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2=2, partial^2 fpartial y^2=2, partial^2 fpartial z^2=0,
partial^2 fpartial xpartial y=0, partial^2 fpartial xpartial z=0, partial^2 fpartial ypartial z=0

Resposta

partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y, partial fpartial z=-3,
partial^2 fpartial x^2=2, partial^2 fpartial y^2=2, partial^2 fpartial z^2=0,
partial^2 fpartial xpartial y =partial^2 fpartial xpartial z =partial^2 fpartial ypartial z=0

Exercícios relacionados