Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=xy

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=xy,
que está definida para yneq0.
O conteúdo é derivada parcial: vamos usar que
f(x,y)=x,y^-1,
aplicando a regra do produto e da potência para obter as derivadas de várias variáveis, e depois derivar novamente para as segundas ordens.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para partial f/partial x tratamos y como constante e derivamos xmapsto x,y^-1:
fx(x,y)=partialpartial xl(x,y^-1r)=y^-1=1y
Para partial f/partial y tratamos x como constante e derivamos ymapsto x,y^-1 usando a regra da potência:
fy(x,y)=partialpartial yl(x,y^-1r) =xcdot(-1),y^-2=-xy^2

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivação em x.
Como fx(x,y)=y^-1 não depende de x,
fxx(x,y)=partialpartial xl(y^-1r)=0
Para
fxy(x,y)=partialpartial yl(fx(x,y)r), derivamos y^-1 em relação a y:
fxy(x,y)=-1cdot y^-2=-1y^2

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivação em y.
Como fy(x,y)=-x,y^-2, ao derivar em x obtemos
fyx(x,y)=partialpartial xl(-x,y^-2r)=-y^-2=-1y^2,
que coincide com fxy (função C^2 para yneq0).
Finalmente, para
fyy(x,y)=partialpartial yl(-x,y^-2r), usamos a potência:
fyy(x,y) =-xcdot(-2),y^-3 =2xy^3

Resposta

fx(x,y)=1y, fy(x,y)=-xy^2,
fxx(x,y)=0, fxy(x,y)=fyx(x,y)=-1y^2, fyy(x,y)=2xy^3

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