Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
que está definida para
.
O conteúdo é derivada parcial: vamos usar que
O conteúdo é derivada parcial: vamos usar que
aplicando a regra do produto e da potência para obter as derivadas de várias variáveis, e depois derivar novamente para as segundas ordens.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para tratamos
como constante e derivamos
:
Para
Para
tratamos
como constante e derivamos
usando a regra da potência:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivação em
.
Como não depende de
,
Como
Para
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivação em
.
Como , ao derivar em
obtemos
Como
que coincide com
(função
para
).
Finalmente, para
, usamos a potência:
Finalmente, para