Determine o valor da constante k para os quais
(k-3) x-(4-k^2) y+k^2-7 k+6=0
é paralela ao eixo y;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de k tais que a reta
(k-3)x - (4 - k^2)y + ,k^2 - 7k + 6 ;=;0
seja paralela ao eixo y. Estamos em geometria analítica de retas no plano e sabemos que uma reta é vertical (paralela ao eixo y) quando a variável y não aparece na sua equação, ou seja, quando o coeficiente de y é zero e o coeficiente de x não é zero.

Passo 2

Na forma geral de uma reta
Ax + By + C = 0,
ela é paralela ao eixo y se, e somente se,
B = 0 e A neq 0

Passo 3

Comparando com
(k-3)x ;-;(4 - k^2)y ;+;(k^2 - 7k + 6)=0
vemos que
A = k - 3, B = -(4 - k^2), C = k^2 - 7k + 6

Passo 4

Impondo B = 0 para eliminar o termo em y, temos
-(4 - k^2) = 0 ;;Longrightarrow;; 4 - k^2 = 0 ;;Longrightarrow;; k^2 = 4 ;;Longrightarrow;; k = 2 ou k = -2

Passo 5

Precisamos ainda garantir que A neq 0, ou seja,
k - 3 neq 0
Para k = 2 temos 2 - 3 = -1 neq 0.
Para k = -2 temos -2 - 3 = -5 neq 0.
Ambos satisfazem A neq 0.

Resposta

k=2 ou k=-2.

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