Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=1^infty[12^n-2-13^n+2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a n-ésima soma parcial
SN=sumn=1^Nl[12^,n-2-13^,n+2r]
e, em seguida, o valor da soma quando Ntoinfty, caso a série seja convergente. O conteúdo que vamos usar é a soma de séries geométricas.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral em potências mais convenientes, temos
12^,n-2=2^2-n=4cdot12^n, 13^,n+2=19cdot13^n
Logo,
SN =4sumn=1^N12^n -19sumn=1^N13^n
Como para |r|neq1 vale
sumn=1^Nr^n =r1-r^N1-r,
tomamos r=tfrac12 na primeira soma e r=tfrac13 na segunda:
sumn=1^N12^n =tfrac12l(1-(tfrac12)^Nr)1-tfrac12 =1-l(tfrac12r)^N, sumn=1^N13^n =tfrac13l(1-(tfrac13)^Nr)1-tfrac13 =tfrac12l(1-(tfrac13)^Nr)
Substituindo em SN:
SN =4l[1-l(tfrac12r)^Nr] -19,12l[1-l(tfrac13r)^Nr] =4l(1-2^-Nr)-118l(1-3^-Nr)
Podemos reescrever agrupando constantes:
SN =l(4-tfrac118r) -4cdot2^-N +118,3^-N =7118-4cdot2^-N+118,3^-N

Passo 3

Para Ntoinfty, temos limNtoinfty2^-N=0 e limNtoinfty3^-N=0. Portanto a série converge e
sumn=1^inftyl[12^,n-2-13^,n+2r] =limNtoinftySN =7118

Resposta

SN=7118-4cdot2^-N+118,3^-N
sumn=1^inftyl[12^n-2-13^n+2r]=7118

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