Encontre as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y sabendo que z=f(u, v) com u=u(x, y) e v=v(x, y)
f(u, v)=ln (u+v), u(x, y)=x^2+y^4 e e v(x, y)=t g(x+y)

Passo 1

Resumindo: queremos calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y de
z = f(u,v) com f(u,v)=ln(u+v),
onde
u(x,y)=x^2 + y^4,e, v(x,y)=tan(x+y)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas parciais de f em relação a u e a v. Como
f(u,v)=ln(u+v),
temos
partial fpartial u=1u+v, partial fpartial v=1u+v

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v em relação a x.
u(x,y)=x^2 + y^4,e Longrightarrow partial upartial x=2x
v(x,y)=tan(x+y) Longrightarrow partial vpartial x=sec^2(x+y)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial x:
partial zpartial x =partial fpartial u,partial upartial x +partial fpartial v,partial vpartial x =1u+vl(2xr) +1u+vl(sec^2(x+y)r) =2x + sec^2(x+y)u+v
Substituindo u e v:
partial zpartial x =2x + sec^2(x+y)x^2 + y^4,e + tan(x+y)

Passo 5

Agora as derivadas de u e v em relação a y.
u(x,y)=x^2 + y^4,e Longrightarrow partial upartial y=4,y^3,e
v(x,y)=tan(x+y) Longrightarrow partial vpartial y=sec^2(x+y)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial y:
partial zpartial y =partial fpartial u,partial upartial y +partial fpartial v,partial vpartial y =1u+vl(4,y^3,er) +1u+vl(sec^2(x+y)r) =4,y^3,e + sec^2(x+y)u+v
Substituindo u e v:
partial zpartial y =4,y^3,e + sec^2(x+y)x^2 + y^4,e + tan(x+y)

Resposta

partial zpartial x =2x + sec^2(x+y)x^2 + y^4,e + tan(x+y), partial zpartial y =4,y^3,e + sec^2(x+y)x^2 + y^4,e + tan(x+y)

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