Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=1^infty(12^n+13^n)

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial e a soma ao infinito da série
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr)
O conteúdo é soma de séries geométricas. Vamos usar que, para uma PG de primeiro termo a e razão rneq1,
sumk=1^na,r^,k-1 =al(1-r^nr)1-r

Passo 2

Calcular a soma parcial da primeira série sumk=1^ntfrac12^k. Aqui a=tfrac12 e r=tfrac12, logo
sumk=1^n12^k =tfrac12l(1-(tfrac12)^nr)1-tfrac12 =1-(tfrac12)^n

Passo 3

Calcular a soma parcial da segunda série sumk=1^ntfrac13^k. Aqui a=tfrac13 e r=tfrac13, então
sumk=1^n13^k =tfrac13l(1-(tfrac13)^nr)1-tfrac13 =12l(1-(tfrac13)^nr)

Passo 4

A soma parcial total é a soma das duas parciais encontradas:
Sn =sumk=1^nl(tfrac12^k+tfrac13^kr) =l[1-(tfrac12)^nr] +l[tfrac12l(1-(tfrac13)^nr)r] =32-(tfrac12)^n-12(tfrac13)^n

Passo 5

Para ntoinfty temos (tfrac12)^nto0 e (tfrac13)^nto0, logo a série converge e
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr) =limntoinftySn =32

Resposta

A n-ésima soma parcial é
Sn=32-(tfrac12)^n-tfrac12(tfrac13)^n,
e a soma ao infinito, por convergir, é
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr)=32

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