Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=sen(x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=sin(xy)
Vamos usar as regras de derivação para funções compostas (regra da cadeia) e, quando aparecer produto de variáveis, a regra do produto.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante. Definindo u=xy, temos f=sin(u), então
partial fpartial x = cos(u),partial upartial x = cos(xy)cdot y

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, tratamos x como constante. Com u=xy de novo,
partial fpartial y = cos(u),partial upartial y = cos(xy)cdot x

Passo 4

Agora calculamos partial^2 fpartial x^2. Partindo de
partial fpartial x=ycos(xy),
derivamos em relação a x, vendo y como constante e usando a cadeia em cos(xy):
partial^2 fpartial x^2 = ycdotl(-sin(xy)r)cdotpartial (xy)partial x = -ysin(xy)cdot y = -y^2sin(xy)

Passo 5

Para partial^2 fpartial xpartial y, derivamos partial fpartial x=ycos(xy) em relação a y. Aplicando produto e cadeia:
partial^2 fpartial xpartial y = partialpartial yl(yr)cos(xy) + ycdotl(-sin(xy)r)cdotpartial(xy)partial y = cos(xy) - y,sin(xy)cdot x = cos(xy) - xysin(xy)

Passo 6

Por fim, partial^2 fpartial y^2 sai de
partial fpartial y=xcos(xy)
derivando em y, mantendo x constante e usando a cadeia:
partial^2 fpartial y^2 = xcdotl(-sin(xy)r)cdotpartial(xy)partial y = -xsin(xy)cdot x = -x^2sin(xy)

Resposta

partial fpartial x=ycos(xy)
partial fpartial y=xcos(xy)
partial^2 fpartial x^2=-y^2sin(xy)
partial^2 fpartial xpartial y=cos(xy)-xysin(xy)
partial^2 fpartial y^2=-x^2sin(xy)

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