Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=e^2 x+3 y-44 z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y,z)=e^2x+3y-44z
O conteúdo aqui é derivação de funções compostas (regra da cadeia) aplicadas a exponenciais. Vamos usar que, para u(x,y,z),
partialpartial xe^u=ux,e^u,
e análogos para y e z.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem aplicando a regra da cadeia a cada variável:
partial fpartial x =2,e^2x+3y-44z, partial fpartial y =3,e^2x+3y-44z, partial fpartial z =-44,e^2x+3y-44z

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem não mistas (segundo a mesma variável duas vezes), diferenciando novamente cada resultado de

Passo 4

partial^2 fpartial x^2 =2l(2,e^2x+3y-44zr) =4,e^2x+3y-44z,
partial^2 fpartial y^2 =3l(3,e^2x+3y-44zr) =9,e^2x+3y-44z,
partial^2 fpartial z^2 =-44l(-44,e^2x+3y-44zr) =1936,e^2x+3y-44z

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas, diferenciando em sequência variáveis diferentes:
partial^2 fpartial x,partial y =partialpartial yl(2,e^2x+3y-44zr) =2cdot3,e^2x+3y-44z=6,e^2x+3y-44z,
partial^2 fpartial x,partial z =partialpartial zl(2,e^2x+3y-44zr) =2cdot(-44),e^2x+3y-44z=-88,e^2x+3y-44z,
partial^2 fpartial y,partial z =partialpartial zl(3,e^2x+3y-44zr) =3cdot(-44),e^2x+3y-44z=-132,e^2x+3y-44z
Por continuidade de f, essas mistas coincidem nas trocas de ordem.

Resposta

fx=2e^2x+3y-44z, fy=3e^2x+3y-44z, fz=-44e^2x+3y-44z
fxx=4e^2x+3y-44z, fyy=9e^2x+3y-44z, fzz=1936e^2x+3y-44z
fxy=fyx=6e^2x+3y-44z, fxz=fzx=-88e^2x+3y-44z, fyz=fzy=-132e^2x+3y-44z

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