Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=1^infty ln [(n+1)^2n(n+2)]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a n-ésima soma parcial e, se existir, o valor da soma da série
sumn=1^inftyln!l[tfrac(n+1)^2n(n+2)r]
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de logaritmo para transformar o termo geral e identificar um cancelamento telescópico.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o termo geral usando logaritmo de produto e quociente:
ln!l[tfrac(n+1)^2n(n+2)r] =2ln(n+1);-;ln n;-;ln(n+2)

Passo 3

Agora somamos de n=1 até n=N:
SN=sumn=1^Nl[2ln(n+1)-ln n-ln(n+2)r]
Ao expandir essa soma, quase todos os termos internos se cancelam (efeito telescópico).

Passo 4

Após o cancelamento resta apenas
SN=ln2+ln(N+1)-ln(N+2) =ln!l[tfrac2,(N+1),N+2,r]

Passo 5

Para obter a soma da série, fazemos Ntoinfty. Como
N+1N+2;xrightarrow[Ntoinfty];1,
segue
limNtoinftySN=ln2

Resposta

A n-ésima soma parcial é
SN=ln!l[tfrac2,(N+1),N+2,r],
e a série converge para
ln2

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