Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) nos pontos indicados.
f(x, y)=x^2 y^2-2 x y no ponto (-1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x,y)=x^2y^2-2xy no ponto (a,b)=(-1,2). Para isso precisamos de (1) valor de f(a,b) e (2) derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y avaliadas em (a,b).

Passo 2

Calculamos o valor de f no ponto dado:
f(-1,2)=(-1)^2cdot2^2-2cdot(-1)cdot2=1cdot4+4=8

Passo 3

Derivadas parciais:
partial fpartial x=2xy^2-2y, partial fpartial y=2yx^2-2x
Avaliando em (x,y)=(-1,2):
partial fpartial x(-1,2)=2cdot(-1)cdot4-2cdot2=-8-4=-12,
partial fpartial y(-1,2)=2cdot2cdot1-2cdot(-1)=4+2=6

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente,
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b),
temos
z = 8 -12,(x+1) +6,(y-2)
Simplificando,
z = -12x +6y -16

Passo 5

A reta normal passa por (-1,2,8) e tem direção dada pelo vetor normal ao plano l(fx(a,b),,fy(a,b),,-1r)=(-12,6,-1). Sua forma paramétrica é
x = -1 -12t, y = 2 +6t, z = 8 -t

Resposta

Plano tangente:
z = -12x +6y -16
Reta normal:
x = -1 -12t, y = 2 +6t, z = 8 -t

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