Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados
f(x, y, z)=x y^2-2 x y+z no ponto (-1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y,z)=x,y^2-2,x,y+z
no ponto (-1,2,-1). O vetor gradiente de uma função de três variáveis é dado por
nabla f(x,y,z)=l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial y,,tfracpartial fpartial zr)
Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z, e então avaliá-las no ponto indicado.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como
f(x,y,z)=x,y^2-2,x,y+z,
temos
tfracpartial fpartial x =tfracpartialpartial x(x,y^2)-tfracpartialpartial x(2,x,y)+tfracpartialpartial x(z) =y^2-2,y+0 =y^2-2,y

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a y. Usando
tfracpartialpartial y(x,y^2)=2,x,y, tfracpartialpartial y(2,x,y)=2,x, tfracpartialpartial y(z)=0,
resulta
tfracpartial fpartial y =2,x,y-2,x =2,x,(y-1)

Passo 4

Por fim, a derivada parcial em relação a z é direta, pois
tfracpartialpartial z(z)=1
e os outros termos não dependem de z. Logo,
tfracpartial fpartial z=1

Passo 5

Avalia-mos cada derivada parcial no ponto (x,y,z)=(-1,2,-1):
tfracpartial fpartial x(-1,2,-1) =(2)^2-2cdot2 =4-4 =0,
tfracpartial fpartial y(-1,2,-1) =2cdot(-1)cdot2-2cdot(-1) =-4+2 =-2,
tfracpartial fpartial z(-1,2,-1)=1
Portanto, o vetor gradiente é
nabla f(-1,2,-1)=(0,,-2,,1)

Resposta

nabla f(-1,2,-1)=(0,,-2,,1)

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