Use derivação implícita para encontrar as derivadas parciais das funções f(x, y) definidas implicitamente pelas equações F(x, y, z)=0.
e^x y z=12

Passo 1

O enunciado diz que a função z=f(x,y) está definida implicitamente por
e^x y z = tfrac12
Para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y vamos usar derivação implícita. Definimos
F(x,y,z) = e^x y z - tfrac12 = 0
e aplicamos a fórmula
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 2

Calculemos Fx e Fz. Como F(x,y,z)=e^xyz-tfrac12,
Fx = partialpartial xl(e^xyzr) = y z,e^x y z, Fz = partialpartial zl(e^xyzr) = x y,e^x y z

Passo 3

Pela fórmula da derivação implícita em relação a x,
0 = Fx + Fz,partial zpartial x = y z,e^x y z + x y,e^x y z,partial zpartial x
Isolando partial zpartial x e cancelando y,e^xyz, vem
partial zpartial x = -y z,e^x y zx y,e^x y z = -zx

Passo 4

De forma análoga, em relação a y temos
Fy = partialpartial yl(e^xyzr) = x z,e^x y z,
e a condição implícita dá
0 = Fy + Fz,partial zpartial y = x z,e^x y z + x y,e^x y z,partial zpartial y
Cancelando x,e^xyz, obtemos
partial zpartial y = -x z,e^x y zx y,e^x y z = -zy

Resposta

partial zpartial x = -zx, partial zpartial y = -zy

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