Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) nos pontos indicados.
f(x, y)=xy no ponto (2,-1)

Passo 1

Temos o gráfico da função
f(x,y)=xy,
e queremos, no ponto (x0,y0)=(2,-1),
  1. a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y),
  2. a equação da reta normal à superfície.
    Para isso usaremos derivadas parciais para o plano e o vetor gradiente de F(x,y,z)=f(x,y)-z para a reta.

Passo 2

Calculemos primeiro
z0=f(2,-1)=2-1=-2
As derivadas parciais são
fx(x,y)=1y, fy(x,y)=-xy^2
No ponto (2,-1) essas derivadas valem
fx(2,-1)=1-1=-1, fy(2,-1)=-2(-1)^2=-2

Passo 3

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo valores:
z - (-2) = -1,(x - 2) + (-2),(y - (-1)),
ou seja
z + 2 = -(x - 2) -2(y+1) Longrightarrow z = -x -2y -2

Passo 4

Para a reta normal usamos o vetor normal ao plano tangente, que é o gradiente de
F(x,y,z)=f(x,y)-z,
isto é
nabla F(x0,y0,z0) =l(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1r) =(-1,,-2,,-1)
A reta normal em forma paramétrica parte de (2,-1,-2) com direção (-1,-2,-1):
x=2 - t, y=-1 -2t, z=-2 - t, tinR,
ou em forma simétrica
x-2-1=y+1-2=z+2-1

Resposta

Equação do plano tangente:
boxedz=-x-2y-2
Equações da reta normal (forma paramétrica):
boxedx=2 - t, y=-1 -2t, z=-2 - t, tinR

Exercícios relacionados