Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos sum|an| para decidir sobre a convergência absoluta.)
sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn^4

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos a série sumn=1^infty (-1)^n-1 2^nn^4 e precisamos descobrir se ela é:
  • Absolutamente convergente
  • Condicionalmente convergente
  • Divergente
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada. Também vamos analisar a série dos valores absolutos sum |an| para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Verificando a Convergência Absoluta:
Primeiro, vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 2^nn^4 | = sumn=1^infty 2^nn^4
Para determinar se essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos exponenciais como 2^n.
Como funciona o Teste da Razão?
Calculamos o limite L de | an+1an | quando n tende ao infinito:
  • Se L < 1: A série converge absolutamente.
  • Se L > 1: A série diverge.
  • Se L = 1: O teste não é conclusivo.
Aplicando o Teste da Razão:
an = 2^nn^4 e an+1 = 2^n+1(n+1)^4
| an+1an | = 2^n+1(n+1)^4 times n^42^n = 2 times ( nn+1 )^4
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty 2 times ( nn+1 )^4 = 2 times ( limn to infty nn+1 )^4 = 2 times 1^4 = 2
Conclusão: Como L = 2 > 1, a série dos valores absolutos sum 2^nn^4 diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Verificando a Convergência Condicional:
Como a série original é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo), podemos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar se ela converge condicionalmente.
Condições do Teste da Série Alternada:
  1. bn deve ser uma sequência decrescente: bn+1 <= bn para todo n a partir de algum ponto.
  2. limn to infty bn = 0
Onde bn = 2^nn^4 neste caso.
Verificando as Condições:
  1. Decrescimento: Observando bn = 2^nn^4, notamos que o numerador 2^n cresce exponencialmente, enquanto o denominador n^4 cresce de forma polinomial. Isso significa que bn aumenta conforme n aumenta, não decresce.
  2. Limite: Calculamos o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty 2^nn^4 = infty
Conclusão: Como bn não é decrescente e o limite limn to infty bn neq 0, a série não satisfaz as condições para convergir condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1 2^nn^4 é divergente.

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