Usando a técnica descrita na questão 10, encontre a solução geral das EDOs abaixo. Note que uma solução da EDO homogênea associada já é dada.
t^2 y^prime prime+7 t y^prime+5 y=t com t>0 e y1(t)=t^-1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
t^2y'' +7t,y' +5y = t,
com t>0 e já informa uma solução da homogênea associada, y1(t)=t^-1. Nosso plano é: (i) achar a segunda solução da homogênea, (ii) encontrar uma particular por coeficientes indeterminados e (iii) montar a solução geral.

Passo 2

Para a homogênea
t^2y'' +7t,y' +5y = 0
buscamos y=t^r. Substituindo, vem
r(r-1)+7r+5=0 Longrightarrow r^2+6r+5=0 Longrightarrow r=-1,;-5
Como já temos y1(t)=t^-1, a outra solução é y2(t)=t^-5. Logo
yh(t)=C1t^-1+C2t^-5

Passo 3

Para a particular, note que o termo não-homogêneo é t=t^1. Como 1 não é raiz da característica, tentamos
yp(t)=A,t
Então yp'=A e yp''=0. Substituindo em
t^2yp''+7t,yp'+5yp =0+7tA+5At =12A,t
e igualando a t, obtemos 12A,t = t, logo A=tfrac112. Assim
yp(t)=112t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) = C1t^-1+C2t^-5+112t

Resposta

y(t)=C1t^-1+C2t^-5+tfrac112t.

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