Usando a técnica descrita na questão 10, encontre a solução geral das EDOs abaixo. Note que uma solução da EDO homogênea associada já é dada.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
com
e já informa uma solução da homogênea associada,
. Nosso plano é: (i) achar a segunda solução da homogênea, (ii) encontrar uma particular por coeficientes indeterminados e (iii) montar a solução geral.
Passo 2
Para a homogênea
buscamos
. Substituindo, vem
Como já temos
, a outra solução é
. Logo
Passo 3
Para a particular, note que o termo não-homogêneo é
. Como
não é raiz da característica, tentamos
Então
e
. Substituindo em
e igualando a
, obtemos
, logo
. Assim
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: