Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral x e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x e^3x , dx usando integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral serão u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv:
  • Escolha de u: Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, x fica mais simples quando derivado.
u = x
  • Escolha de dv: O restante da integral fica como dv.
    dv = e^3x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivada de u:
    du = ddx(x) , dx = 1 , dx
  • Integral de dv:
    Para encontrar v, integramos dv:
    v = integral e^3x , dx = 13 e^3x

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^3x , dx = x cdot (13 e^3x) - integral (13 e^3x) cdot 1 , dx

Passo 5

Simplificamos a expressão:
integral x e^3x , dx = x e^3x3 - 13 integral e^3x , dx
Agora, precisamos integrar integral e^3x , dx, que já sabemos que é 13 e^3x.

Passo 6

Substituímos a integral resolvida:
integral x e^3x , dx = x e^3x3 - 13 cdot e^3x3 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x e^3x , dx = x e^3x3 - e^3x9 + C

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