Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos para decidir sobre a convergência absoluta.)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série alternada , identificando se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar testes de convergência de séries: o teste da série absoluta (comparação ou limite) e o teste da série alternada de Leibniz.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Note que nn^2+1simnn^2=1nquando ntoinfty
Como a série harmônica sum1/n diverge e
limntoinftyn/(n^2+1)1/n=1,
a série sum n/(n^2+1) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da série alternada (Leibniz). Definimos
bn=nn^2+1
Precisamos verificar dois pontos:
1) bn>0 para todo n.
2) bn é decrescente a partir de algum n0 e limntoinftybn=0
Calculamos o limite:
limntoinftybn=limntoinftynn^2+1=0
Para a monotonicidade, consideramos a função f(x)=xx^2+1,
cuja derivada é
f'(x)=1cdot(x^2+1)-xcdot2x(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2
Temos f'(x)<0 sempre que x>1, ou seja, bn é decrescente para n>=2.
Portanto, todos os requisitos do teste de Leibniz estão satisfeitos e a série alternada converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste alternado, concluímos que ela é condicionalmente convergente.