Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos sum|an| para decidir sobre a convergência absoluta.)
sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n^22^n
e pede para classificá-la em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como todos os termos são positivos, basta analisar a convergência por um teste apropriado (por exemplo, o teste da razão) e então verificar que a série dos valores absolutos coincide com a própria série.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja an = n^22^n. Então
an+1an = (n+1)^22^,n+1n^22^,n = (n+1)^22,n^2
e, tomando o limite quando ntoinfty,
L = limntoinfty (n+1)^22,n^2 = 12

Passo 3

Como L=tfrac12<1, o teste da razão garante que a série sum an converge. Além disso, como an>=0 para todo n, temos sum|an|=sum an, logo a convergência é absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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