(2 pontos). Usando coordenadas polares, calcule a seguinte integral dupla:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A
Onde D é a região definida por x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^-l(x^2+y^2r),dA
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem: x^2+y^2<=4.
O conteúdo usado será a mudança para coordenadas polares e o Jacobiano correspondente.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta,
y = rsintheta,
a região D vira
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi,
e o elemento de área se transforma em
dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral duplaD e^-l(x^2+y^2r),dA = integral0^2pi!!integral0^2 e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r. Observando que
ddrl(-tfrac12 e^-r^2r)=r e^-r^2,
temos
integral0^2 e^-r^2,r,dr = -tfrac12 e^-r^2|0^2 = tfrac12l(1 - e^-4r)

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
e, juntando com o resultado anterior,
integral duplaD e^-l(x^2+y^2r),dA = 2pi cdot tfrac12l(1 - e^-4r) = pil(1 - e^-4r)

Resposta

pil(1 - e^-4r)

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