Resolva as equações diferenciais:
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
(x + y) , dx + (x + 2y) , dy = 0
Essa equação envolve derivadas e integrais, que fazem parte do estudo das Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M , dx + N , dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
No nosso caso:
  • M = x + y
  • N = x + 2y
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M = x + y
Integrando M em relação a x para encontrar Psi:
Psi(x, y) = integral (x + y) , dx = 12x^2 + yx + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 4

Agora, vamos determinar h(y) usando a condição que:
partial Psipartial y = N = x + 2y
Calculando a derivada de Psi em relação a y:
partial Psipartial y = x + h'(y)
Igualando às duas expressões:
x + h'(y) = x + 2y
Isso simplifica para:
h'(y) = 2y
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = integral 2y , dy = y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos h(y) de volta na função potencial Psi(x, y):
Psi(x, y) = 12x^2 + yx + y^2 + C
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos Psi(x, y) a uma constante K:
12x^2 + yx + y^2 = K
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
x^2 + 2xy + 2y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 + 2xy + 2y^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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