Resolva as equações diferenciais:
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Essa equação envolve derivadas e integrais, que fazem parte do estudo das Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 4
Agora, vamos determinar
usando a condição que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na função potencial
:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante
:
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.