(2 pontos) Calcule a integral dupla:
& integral duplaD x^3 y^2 d A & Onde D=(x, y) ; 0 <= x <= 2,-x <= y <= x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x^3y^2,dA
onde
D = (x,y)mid 0 <= x <= 2,;-x <= y <= x
O conteúdo principal aqui é a integração dupla em coordenadas cartesianas, que vamos transformar em uma integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada:
integral duplaD x^3y^2,dA = integralx=0^2l(integraly=-x^x x^3y^2,dyr),dx
Dentro da integral interna x é constante, então
integraly=-x^x x^3y^2,dy = x^3integral-x^x y^2,dy
Como y^2 é função par e os limites são simétricos,
integral-x^x y^2,dy = 2integral0^x y^2,dy = 2l[y^33r]0^x = 2x^33
Logo a integral interna vale
x^3cdot 2x^33 = 2x^63

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
integral0^2 2x^63,dx = 23integral0^2 x^6,dx = 23l[x^77r]0^2 = 23cdot 2^77 = 23cdot 1287 = 25621

Resposta

25621

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