Calcule o volume do sólido E que está localizado acima do plano x y, abaixo do plano z=1, fora do hiperboloide de uma folha x^2+y^2-z^2=1 e dentro do cilindro x^2+y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E limitado pelas superfícies:
  • acima do plano xy (ou seja z>=0),
  • abaixo do plano z=1,
  • fora do hiperbolóide de uma folha x^2+y^2-z^2=1,
  • dentro do cilindro x^2+y^2=2.
O conteúdo principal é cálculo de volume em coordenadas cilíndricas, analisando para cada z a faixa de r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos x^2+y^2=r^2.
  • A condição “fora do hiperbolóide” é
r^2 - z^2 >= 1 Longrightarrow r >= raiz1+z^2
  • A condição “dentro do cilindro” é
r^2 <= 2 Longrightarrow r <= raiz2
Como z varia de 0 a 1, para cada zin[0,1] temos
raiz1+z^2 <= r <= raiz2, 0<=theta<=2pi

Passo 3

O volume em coordenadas cilíndricas é
V = integralz=0^1integraltheta=0^2piintegralr=raiz1+z^2^raiz2 r , d r, dtheta, d z

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integralraiz1+z^2^raiz2 r, d r = 12l[r^2r]r=raiz1+z^2^r=raiz2 = 12l(2 - (1+z^2)r) = 1 - z^22
Agora integramos em theta, o que multiplica por 2pi, gerando a função de z
2picdot1 - z^22 = pi,(1 - z^2)

Passo 5

Finalmente, integramos em z:
V = integral0^1 pi,(1 - z^2), d z = pil[z - z^33r]0^1 = pil(1 - 13r) = 2pi3

Resposta

2pi3

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