Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos sum|an| para decidir sobre a convergência absoluta.)
sumn=1^infty(-1)^n+1 1raiz[4]n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty(-1)^n+11raiz[4]n
e decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O tema aqui é séries alternadas e séries de potências do tipo 1/n^p. Vamos usar o Teste da Série Alternada (Leibniz) para verificar convergência condicional e o teste da p-série para a convergência absoluta (isto é, da série dos valores absolutos).

Passo 2

Estudando a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|;(-1)^n+11raiz[4]nr| =sumn=1^infty1n^1/4
Isso é uma p-série com p=tfrac14. Como p<=1, a p-série diverge. Logo,
sumn=1^infty1n^1/4 é diver>=nte, é
e a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora verificamos a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Definimos
bn=1n^1/4,
e observamos que para n>=1:
  1. ;bn>0.
  2. ;bn+1=tfrac1(n+1)^1/4<tfrac1n^1/4=bn, ou seja, a sequência (bn) é decrescente.
  3. limntoinftybn=limntoinftytfrac1n^1/4=0.
    Pelo Critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1bn
converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pelo Teste da Série Alternada (Passo 3), concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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