Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos para decidir sobre a convergência absoluta.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
e decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O tema aqui é séries alternadas e séries de potências do tipo . Vamos usar o Teste da Série Alternada (Leibniz) para verificar convergência condicional e o teste da p-série para a convergência absoluta (isto é, da série dos valores absolutos).
Passo 2
Estudando a convergência absoluta, consideramos
Isso é uma p-série com p=tfrac14. Como p<=1, a p-série diverge. Logo,
sumn=1^infty1n^1/4 é diver>=nte, é
e a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora verificamos a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Definimos
bn=1n^1/4,
e observamos que para n>=1:
;bn>0.
;bn+1=tfrac1(n+1)^1/4<tfrac1n^1/4=bn, ou seja, a sequência (bn) é decrescente.
limntoinftybn=limntoinftytfrac1n^1/4=0.
Pelo Critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1bn
converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pelo Teste da Série Alternada (Passo 3), concluímos que ela é condicionalmente convergente.