Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=lim x x0 g(x)=0, h(x)=g(x)f(x)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g:DsubsetRtoR e um ponto de acumulação x0in D' tais que
limxto x0f(x)=0 e limxto x0g(x)=0,
e define-se
h(x)=g(x)f(x)
O conteúdo aqui é o estudo de uma indeterminação do tipo “ 0/0”. Queremos discutir o que se pode afirmar sobre h (por exemplo, existência de limite, continuidade, comportamento) apenas com as hipóteses dadas.

Passo 2

Como limxto x0f(x)=0, para x suficientemente próximo de x0 (mas xneq x0) os valores f(x) ficam arbitrariamente pequenos.
  • Se existir uma vizinhança de x0 em que f(x)neq0 para todo xneq x0, então h(x) está bem definido nessa vizinhança, exceto possivelmente em pontos onde f(x)=0.
  • Se f anula-se em pontos arbitrariamente próximos de x0, então h nem sequer estará definido nesses pontos.
Em suma, sem mais informação, nem sabemos se h está definido em toda vizinhança de x0 (tirando x0), pois f pode zerar-se perto de x0.

Passo 3

O limite
limxto x0h(x) = limxto x0g(x)f(x)
é um caso típico de indeterminação “ 0/0”. Por si só, a informação
limxto x0f(x)=0 e limxto x0g(x)=0
não basta para garantir que esse limite exista nem para determinar seu valor.

Passo 4

Mostramos com exemplos que tudo pode acontecer:
1. Se f(x)=x e g(x)=x^2 em x0=0, então
h(x)=x^2x=x, limxto0h(x)=0
2. Se f(x)=x e g(x)=2x em x0=0, então
h(x)=2, limxto0h(x)=2
3. Se f(x)=x^2 e g(x)=x em x0=0, então
h(x)=xx^2=1x,
cujo limite em 0 não existe (tende a pminfty ou oscila).
Esses exemplos ilustram que, sem hipóteses adicionais (por exemplo, diferenciabilidade e uso de regra de L’Hôpital, ou comparação de ordens de zero), o comportamento de h é totalmente indeterminado.

Resposta

Não se pode afirmar nada em geral sobre o limite ou continuidade de h(x)=g(x)/f(x) em x0: a forma é indeterminada “ 0/0”, e, sem hipóteses extras, o limite pode convergir a qualquer real ou não existir.

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