Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e um ponto de acumulação
tais que
e define-se
O conteúdo aqui é o estudo de uma indeterminação do tipo “
”. Queremos discutir o que se pode afirmar sobre
(por exemplo, existência de limite, continuidade, comportamento) apenas com as hipóteses dadas.
Passo 2
Como
, para
suficientemente próximo de
(mas
) os valores
ficam arbitrariamente pequenos.
- Se existir uma vizinhança de
em que para todo , então está bem definido nessa vizinhança, exceto possivelmente em pontos onde . - Se
anula-se em pontos arbitrariamente próximos de , então nem sequer estará definido nesses pontos.
Em suma, sem mais informação, nem sabemos se
está definido em toda vizinhança de
(tirando
), pois
pode zerar-se perto de
.
Passo 3
O limite
é um caso típico de indeterminação “
”. Por si só, a informação
e
não basta para garantir que esse limite exista nem para determinar seu valor.
não basta para garantir que esse limite exista nem para determinar seu valor.
Passo 4
Mostramos com exemplos que tudo pode acontecer:
cujo limite em
não existe (tende a
ou oscila).
Esses exemplos ilustram que, sem hipóteses adicionais (por exemplo, diferenciabilidade e uso de regra de L’Hôpital, ou comparação de ordens de zero), o comportamento de
é totalmente indeterminado.
Resposta
Não se pode afirmar nada em geral sobre o limite ou continuidade de
em
: a forma é indeterminada “
”, e, sem hipóteses extras, o limite pode convergir a qualquer real ou não existir.