Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{e^{n}}
e pede para classificá‑la como: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste utilizado.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{e^{n}}.
  • Todos os a_n são não negativos (são positivos de fato).

Passo 2

Primeira observação útil (que facilita a conclusão): quando todos os termos de uma série são não negativos, a noção de convergência absoluta coincide com a de convergência simples — isto é, se a série com termos positivos converge então ela é absolutamente convergente; se diverge, não há convergência condicional possível. Portanto basta testar a convergência da série original.

Passo 3

Vou usar o Teste da Razão (ratio test). Vou primeiro enunciar e explicar o que esse teste diz, de forma simples:
  • Seja uma série com termo geral a_n (assumindo a_n\neq0). Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1 então a série converge absolutamente.
  • Se L>1 (ou L=\infty) então a série diverge.
  • Se L=1 o teste não decide.
Intuição curta: se os termos sucessivos diminuem geometricamente (razão limite menor que 1) a soma converge como uma série geométrica; se crescem (razão maior que 1) os termos não vão a zero e a soma diverge.

Passo 4

Aplicando o teste da razão ao termo a_n=\dfrac{n!}{e^{n}}. Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{e^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{e^{n}}} = \frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{e^{n}}{e^{\,n+1}} = (n+1)\cdot\frac{1}{e} = \frac{n+1}{e}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{e} = +\infty.
Portanto o limite L é infinito, logo L>1. Pelo Teste da Razão concluímos que a série diverge.
Complemento simples e direto (intuitivo): como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{e}>1 para todo n suficientemente grande, os termos a_n não tendem a zero (na verdade crescem), e uma condição necessária para convergência é \lim_{n\to\infty}a_n=0. Como essa condição falha, a série não pode convergir.

Passo 5

Conclusão final: a série diverge; portanto não é absolutamente nem condicionalmente convergente — é simplesmente divergente.

Resposta

Divergente

Exercícios relacionados