Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}.
O que é pedido: determinar se a série é (i) Absolutamente Convergente, (ii) Condicionalmente Convergente ou (iii) Divergente, justificando o teste usado. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\left(\dfrac{n}{3n+1}\right)^{n}.
  • Todos os termos são não negativos (isto é, a_n\ge 0 para todo n).

Passo 2

Estratégia escolhida: usar um teste de comparação com uma série geométrica convergente. Motivo: o termo é uma potência \big(\cdot\big)^{n}; se a base \dfrac{n}{3n+1} for majorada por uma constante q<1, então \left(\dfrac{n}{3n+1}\right)^{n} fica majorada por q^{n}, e isso permite comparar com a série geométrica \sum q^{n}, cuja convergência é conhecida. Esta é uma técnica básica e muito útil em provas rápidas.
Lembrete didático: teste de comparação simples (versão usada aqui).
  • Se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n convergente, então \sum a_n também converge.
  • A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} converge se, e somente se, |q|<1; nesse caso sua soma é \dfrac{q}{1-q}, mas aqui só precisamos da convergência.
Também vale comentar a definição útil: uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Como neste problema a_n\ge0, a convergência de \sum a_n é equivalente à convergência absoluta.

Passo 3

Vamos encontrar uma constante q<1 que majore a base \dfrac{n}{3n+1}. Verifiquemos a desigualdade
\frac{n}{3n+1}\le \frac{1}{2}
para n\ge 1. Fazer a manipulação algébrica:
\frac{n}{3n+1}\le \frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2n\le 3n+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le n+1,
que é verdadeira para todo n\ge1. Portanto, para todo n\ge1 vale
\frac{n}{3n+1}\le \frac{1}{2}.

Passo 4

Elevando a desigualdade à potência n\ge1 (todas as quantidades são não negativas), obtemos
\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Como a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge (razão \dfrac{1}{2}, menor que 1), pelo teste de comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}
converge. Como todos os termos são não negativos, isso já implica que a série é absolutamente convergente (a série dos módulos é a própria série).
Comentário final sobre alternativas: não há convergência condicional porque isso só ocorre quando \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge; aqui \sum a_n converge e, sendo a_n\ge0, temos \sum |a_n|=\sum a_n convergente, isto é, a convergência é absoluta.

Resposta

Absolutamente Convergente

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