Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado dá a série
O que é pedido: determinar se a série é (i) Absolutamente Convergente, (ii) Condicionalmente Convergente ou (iii) Divergente, justificando o teste usado. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos são não negativos (isto é,
para todo ).
Passo 2
Estratégia escolhida: usar um teste de comparação com uma série geométrica convergente. Motivo: o termo é uma potência
; se a base
for majorada por uma constante
, então
fica majorada por
, e isso permite comparar com a série geométrica
, cuja convergência é conhecida. Esta é uma técnica básica e muito útil em provas rápidas.
Lembrete didático: teste de comparação simples (versão usada aqui).
- Se
para todo suficientemente grande e convergente, então também converge. - A série geométrica
converge se, e somente se, ; nesse caso sua soma é , mas aqui só precisamos da convergência.
Também vale comentar a definição útil: uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
converge. Como neste problema
, a convergência de
é equivalente à convergência absoluta.
Passo 3
Vamos encontrar uma constante
que majore a base
. Verifiquemos a desigualdade
para
. Fazer a manipulação algébrica:
que é verdadeira para todo
. Portanto, para todo
vale
Passo 4
Elevando a desigualdade à potência
(todas as quantidades são não negativas), obtemos
Como a série geométrica
converge (razão
, menor que
), pelo teste de comparação concluímos que
converge. Como todos os termos são não negativos, isso já implica que a série é absolutamente convergente (a série dos módulos é a própria série).
Comentário final sobre alternativas: não há convergência condicional porque isso só ocorre quando
converge mas
diverge; aqui
converge e, sendo
, temos
convergente, isto é, a convergência é absoluta.
Resposta
Absolutamente Convergente