Verifique a convergência das sequências
listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para verificar se a sequência converge; se convergir, determinar o limite
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A sequência é definida para
, . - O numerador é
(logaritmo natural) e o denominador é . - Queremos o comportamento quando
.
Passo 2
Ideia geral (sem usar jargões): transformar a sequência numa função contínua para aproveitar limites de funções e, assim, estudar o comportamento quando o argumento cresce sem limite. Defina a função
Repare que
. Se conseguirmos
, então necessariamente
, porque a avaliação de uma função contínua em inteiros herda o mesmo limite infinito (mais formalmente: se
então
). Portanto basta calcular
.
Passo 3
Verificação da forma indeterminada: ao fazermos
temos
e
, ou seja temos a forma
. Isso permite usar a Regra de l’Hôpital (condição: numerador e denominador diferenciáveis para
suficientemente grande e o denominador com derivada não nula) para transformar o limite no limite das derivadas.
Aplique l’Hôpital:
Agora simplifique a fração das derivadas:
Portanto
Passo 4
Calcule o limite final:
. Multiplicando por
continua sendo
. Assim
Passo 5
Conclusão para a sequência: como
e
, segue que
Ou seja, a sequência
converge e o limite é
.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (pra você levar pra prova): o raciocínio usado aqui é um padrão muito útil — quando aparece uma sequência com funções como
,
,
, etc., pense em transformar em uma função contínua
e estudar
. A Regra de l’Hôpital é uma ferramenta direta quando aparece
. Também vale memorizar a ideia qualitativa: logaritmos crescem muito mais devagar que potências
(para qualquer
), então
; aqui tomamos
.
Resposta
A sequência converge e
.