Verifique a convergência das sequências \left\{a_{n}\right\} listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
a_{n}=\frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
e pede para verificar se a sequência converge; se convergir, determinar o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N}, n\ge1.
  • O numerador é \ln(n) (logaritmo natural) e o denominador é \sqrt{n}=n^{1/2}.
  • Queremos o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Ideia geral (sem usar jargões): transformar a sequência numa função contínua para aproveitar limites de funções e, assim, estudar o comportamento quando o argumento cresce sem limite. Defina a função
f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}},\qquad x>0.
Repare que a_n=f(n). Se conseguirmos \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=L, então necessariamente \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=L, porque a avaliação de uma função contínua em inteiros herda o mesmo limite infinito (mais formalmente: se \lim_{x\to\infty}f(x)=L então \lim_{n\to\infty}f(n)=L). Portanto basta calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Verificação da forma indeterminada: ao fazermos x\to\infty temos \ln x\to\infty e \sqrt{x}\to\infty, ou seja temos a forma \infty/\infty. Isso permite usar a Regra de l’Hôpital (condição: numerador e denominador diferenciáveis para x suficientemente grande e o denominador com derivada não nula) para transformar o limite no limite das derivadas.
Aplique l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}(\ln x)}{\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x})} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{2}x^{-1/2}}.
Agora simplifique a fração das derivadas:
\frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{2}x^{-1/2}} =\frac{1}{x}\cdot\frac{2x^{1/2}}{1} =2\,\frac{1}{\sqrt{x}}.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}2\,\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Calcule o limite final: \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}=0. Multiplicando por 2 continua sendo 0. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0.

Passo 5

Conclusão para a sequência: como a_n=f(n) e \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Ou seja, a sequência \{a_n\} converge e o limite é 0.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (pra você levar pra prova): o raciocínio usado aqui é um padrão muito útil — quando aparece uma sequência com funções como \ln n, n^\alpha, e^n, etc., pense em transformar em uma função contínua f(x) e estudar \lim_{x\to\infty} f(x). A Regra de l’Hôpital é uma ferramenta direta quando aparece \infty/\infty. Também vale memorizar a ideia qualitativa: logaritmos crescem muito mais devagar que potências n^p (para qualquer p>0), então \dfrac{\ln n}{n^p}\to0; aqui tomamos p=\tfrac12.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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