Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^{2}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar o teste usado. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada n o termo é \dfrac{\cos(n\pi)}{n^{2}}.
Passo 2
Vamos simplificar o fator trigonométrico. Conhecimento básico de trigonometria nos diz que
\cos(n\pi)=(-1)^{n}
para todo n\in\mathbb{N}. Portanto a série pode ser reescrita como
Isto apenas reescreve o problema num formato mais familiar (uma série com sinal alternado e magnitude 1/n^{2}).
Passo 3
Mini-aula rápida (útil para a prova): definições e testes que vou usar.
Definição de convergência absoluta: uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_{n}| converge.
Se \sum a_{n} é absolutamente convergente, então \sum a_{n} é convergente (teorema padrão).
Série p (p-series): \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1. Esse é um teste muito usado: para p=2 ela converge.
Observação prática: para mostrar convergência absoluta, normalmente calculamos \sum |a_{n}| e comparamos com uma p-série ou usamos um teste de comparação.
Passo 4
Aplicando as definições ao nosso caso: os termos são a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Então
Esta é uma p-série com p=2. Pelo teste da p-série (ou pelo fato conhecido de que \sum 1/n^{2} converge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.
Passo 5
Como consequência do passo anterior (teorema: absoluta convergência implica convergência), a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(n\pi)}{n^{2}} é convergente e, mais fortemente, absolutamente convergente. Não há necessidade de testes alternativos aqui, mas nota: podia-se também observar que é uma série alternada com termos de módulo decrescente para ver a convergência direta pelo critério de Leibniz — porém já temos a convergência absoluta, que é uma conclusão mais forte.