Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
- A série dada é
- A pergunta: classificar a série como Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste usado.
Passo 2
Escrever o termo geral de forma mais clara.
- Defina o termo geral por
- Podemos simplificar:
Isto é, cada termo é
multiplicado por
.
Passo 3
Aplicar o teste da termo geral (teste necessário da convergência).
- Lembrete didático (fórmula/conceito): o teste do termo geral diz que se
então a série
diverge. Esse teste é necessário: toda série convergente tem termos que tendem a zero.
- Calcule o comportamento de
quando . Como , os termos oscilam entre valores próximos de e :
- Conclusão deste passo: pelo teste do termo geral, a série
diverge, porque os termos não tendem a zero.
Passo 4
Analisar a convergência absoluta (definição e teste).
- Lembrete didático (definição): a série é absolutamente convergente se a série das magnitudes
converge. Se diverge, a série não é absolutamente convergente. - Calcule
:
- Observe que
. Como necessário para convergência de uma série é que os termos tendam a zero, isso já garante que diverge. - Alternativamente, percebe-se que
e ambas as séries à direita divergem (a série das constantes e a harmônica), logo a série das magnitudes diverge.
Passo 5
Interpretação final e comparação com convergência condicional.
- Convergência condicional ocorre quando a série
converge, mas diverge. - Aqui já vimos que
diverge (Passo 3). Como não converge, não faz sentido falar em convergência condicional: não é condicionalmente convergente. - Também vimos que
diverge (Passo 4), então não é absolutamente convergente.
Resposta
Divergente