Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • A série dada é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n}.
  • A pergunta: classificar a série como Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste usado.

Passo 2

Escrever o termo geral de forma mais clara.
  • Defina o termo geral por \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{n}.
  • Podemos simplificar:
a_n = (-1)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right).
Isto é, cada termo é (-1)^n multiplicado por 1+\tfrac{1}{n}.

Passo 3

Aplicar o teste da termo geral (teste necessário da convergência).
  • Lembrete didático (fórmula/conceito): o teste do termo geral diz que se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\quad\text{ou não existe},ã
então a série \sum a_n diverge. Esse teste é necessário: toda série convergente tem termos que tendem a zero.
  • Calcule o comportamento de a_n quando n\to\infty. Como \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)=1, os termos a_n oscilam entre valores próximos de +1 e -1:
\lim_{n\to\infty} a_n \text{ não existe (os termos não tendem a }0\text{), pois os termos alternam entre aproximadamente }1\text{ e }-1.ãã
  • Conclusão deste passo: pelo teste do termo geral, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge, porque os termos não tendem a zero.

Passo 4

Analisar a convergência absoluta (definição e teste).
  • Lembrete didático (definição): a série é absolutamente convergente se a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| diverge, a série não é absolutamente convergente.
  • Calcule |a_n|:
|a_n|=\left|(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right|=1+\frac{1}{n}.
  • Observe que \lim_{n\to\infty} |a_n| = 1 \neq 0. Como necessário para convergência de uma série é que os termos tendam a zero, isso já garante que \sum |a_n| diverge.
  • Alternativamente, percebe-se que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e ambas as séries à direita divergem (a série das constantes e a harmônica), logo a série das magnitudes diverge.

Passo 5

Interpretação final e comparação com convergência condicional.
  • Convergência condicional ocorre quando a série \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • Aqui já vimos que \sum a_n diverge (Passo 3). Como não converge, não faz sentido falar em convergência condicional: não é condicionalmente convergente.
  • Também vimos que \sum |a_n| diverge (Passo 4), então não é absolutamente convergente.

Resposta

Divergente

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