Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado. \quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado. Informações relevantes que temos:
o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n^{3}}{3^{n}};
o módulo do termo geral é \dfrac{n^{3}}{3^{n}}, uma sequência positiva.
O que se pede: classificar a série em uma das três categorias (absoluta, condicional ou divergente) e justificar com um teste adequado.
Passo 2
Lembrete didático: definição de convergência absoluta.
Dizemos que a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
Importante: absoluta convergência implica convergência (ou seja, se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge).
Portanto, um caminho natural é estudar a série de módulos
Se essa série converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.
Passo 3
Vou usar o Teste da Razão (teste de d’Alembert), que é muito eficiente quando aparece uma potência exponencial no denominador. Enunciado do teste (para séries de termos positivos):
Seja b_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
se o limite existir. Se L<1, então \sum b_n converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui aplicarei o teste com b_n=\dfrac{n^{3}}{3^{n}}.
Passo 4
Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} passo a passo:
Interpretação do resultado do teste da razão: obtivemos L=\dfrac{1}{3}<1. Pelo teste, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{3^{n}} converge. Logo a série dos módulos converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.
Comentário intuitivo extra (útil na prova): termos exponenciais no denominador (aqui 3^{n}) crescem muito mais rápido que qualquer polinônio (aqui n^{3}), por isso razões do tipo \dfrac{n^{k}}{a^{n}} com a>1 costumam dar séries convergentes; o teste da razão formaliza isso.