Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado. Informações relevantes que temos:
  • o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n^{3}}{3^{n}};
  • o módulo do termo geral é \dfrac{n^{3}}{3^{n}}, uma sequência positiva.
O que se pede: classificar a série em uma das três categorias (absoluta, condicional ou divergente) e justificar com um teste adequado.

Passo 2

Lembrete didático: definição de convergência absoluta.
  • Dizemos que a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • Importante: absoluta convergência implica convergência (ou seja, se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge).
    Portanto, um caminho natural é estudar a série de módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}}.
Se essa série converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Vou usar o Teste da Razão (teste de d’Alembert), que é muito eficiente quando aparece uma potência exponencial no denominador. Enunciado do teste (para séries de termos positivos):
  • Seja b_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
se o limite existir. Se L<1, então \sum b_n converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui aplicarei o teste com b_n=\dfrac{n^{3}}{3^{n}}.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} passo a passo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^3}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{n^3}{3^{\,n}}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{3}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Observação: \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} tende a 1, então
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}=1^{3}=1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\;1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste da razão: obtivemos L=\dfrac{1}{3}<1. Pelo teste, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{3^{n}} converge. Logo a série dos módulos converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.
Comentário intuitivo extra (útil na prova): termos exponenciais no denominador (aqui 3^{n}) crescem muito mais rápido que qualquer polinônio (aqui n^{3}), por isso razões do tipo \dfrac{n^{k}}{a^{n}} com a>1 costumam dar séries convergentes; o teste da razão formaliza isso.

Resposta

Absolutamente Convergente.

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