Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência I (testando as extremidades) da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}.
Informações dadas:
O termo geral da série é a_n(x)=\dfrac{x^{n}}{n+1}.
Precisa-se de R e então verificar convergência em x=1 e x=-1.
Passo 2
Escolha do método e explicação do teste da razão (motivo): o enunciado não exige método específico; para séries de potências o teste da razão é simples e direto porque envolve quocientes entre termos consecutivos. O teste da razão diz: para uma série \sum a_n calcule
Se L<1 a série converge absolutely, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo. Para uma série de potências \sum c_n x^n a condição L<1 dá uma condição na forma |x|<R, e o raio de convergência R vem do valor limite.
Passo 3
Aplicando o teste da razão ao termo a_n(x)=\dfrac{x^{n}}{n+1}:
Pelo teste da razão, a série converge (absolutamente) quando |x|<1 e diverge quando |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R=1.
Passo 4
Com R=1 já sabemos que a série converge para -1< x <1. Agora falta testar as extremidades x=1 e x=-1 para determinar o intervalo de convergência completo.
que é a série harmônica conhecida e diverge (os somatórios parciais crescem sem limite, por exemplo comparando com a integral \int_{1}^{N}\frac{1}{x}\,dx=\ln N ou pelo fato clássico de que a série harmônica diverge). Logo a série diverge em x=1. Portanto x=1 não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Teste em x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
Aplicamos o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Para isso escrevemos os termos em módulo b_n=\dfrac{1}{n+1}. Observações:
b_n>0 para todo n.
b_n é decrescente: b_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}=b_n.
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Portanto a série converge em x=-1.
Adicional: a convergência em x=-1 é condicional, porque a série de valores absolutos é \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n+1} (a harmônica) que diverge. (Como curiosidade, o valor da soma é \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n+1}=\ln 2, mas isso não era exigido para determinar o intervalo.)