Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em 0
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{5^{n}}.
O que foi pedido:
Determinar o Raio de Convergência R.
Determinar o Intervalo de Convergência I, verificando as extremidades.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O coeficiente geral é a_n=\dfrac{n!}{5^{n}} (multiplicado por x^n na série).
A série é centrada em 0 (ou seja é uma série em potências de x).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a ferramenta que vou usar: o Teste da Razão para séries de potências.
Teste da Razão (para séries \sum a_n x^n): calcular a função
Se |x|>0, o limite é +\infty, portanto maior que 1. Pelo teste da razão, a série diverge para todo x\neq0.
Se |x|=0 (ou seja x=0), o limite é 0<1 e a série converge (na verdade os termos para n\ge1 tornam-se zero).
Assim, a série só converge no ponto x=0. Isso significa que o raio de convergência é
R=0.
Passo 5
Verificação explícita nas extremidades do intervalo: como o raio é R=0, o “intervalo de convergência” reduz-se ao único ponto central x=0. Avaliando a série em x=0:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!\,0^{n}}{5^{n}}
o termo de n=0 é \dfrac{0!0^{0}}{5^{0}}=1 (pela convenção usual 0^0=1 em séries de potências) e todos os termos com n\ge1 são zero, logo a soma é 1 e a série converge em x=0. Não há outros extremos a testar porque não existe intervalo não-trivial centrado em zero com raio positivo.