Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em 0
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{5^{n}}.
O que foi pedido:
  • Determinar o Raio de Convergência R.
  • Determinar o Intervalo de Convergência I, verificando as extremidades.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente geral é a_n=\dfrac{n!}{5^{n}} (multiplicado por x^n na série).
  • A série é centrada em 0 (ou seja é uma série em potências de x).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a ferramenta que vou usar: o Teste da Razão para séries de potências.
Teste da Razão (para séries \sum a_n x^n): calcular a função
L(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^n}\right| =\left(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\cdot|x|.
  • Se L(x)<1 a série converge (absolutamente) para esse x.
  • Se L(x)>1 a série diverge.
  • O raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|}
quando esse limite existe (ou, em geral, por R=1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}).
Aqui a_n=\dfrac{n!}{5^{n}}. Vou aplicar o teste da razão.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão dos coeficientes:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\dfrac{(n+1)!}{5^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{5^{n}}} =\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{5^{n}}{5^{n+1}} =(n+1)\cdot\frac{1}{5} =\frac{n+1}{5}.
Portanto, aplicando ao termo com x,
\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^n}\right| =\frac{n+1}{5}\,|x|.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5}\,|x| = \begin{cases} 0, & \text{se }|x|=0,\\[4pt] +\infty, & \text{se }|x|>0. \end{cases}]

Passo 4

Interpretação do resultado do Teste da Razão:
  • Se |x|>0, o limite é +\infty, portanto maior que 1. Pelo teste da razão, a série diverge para todo x\neq0.
  • Se |x|=0 (ou seja x=0), o limite é 0<1 e a série converge (na verdade os termos para n\ge1 tornam-se zero).
Assim, a série só converge no ponto x=0. Isso significa que o raio de convergência é
R=0.

Passo 5

Verificação explícita nas extremidades do intervalo: como o raio é R=0, o “intervalo de convergência” reduz-se ao único ponto central x=0. Avaliando a série em x=0:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!\,0^{n}}{5^{n}}
o termo de n=0 é \dfrac{0!0^{0}}{5^{0}}=1 (pela convenção usual 0^0=1 em séries de potências) e todos os termos com n\ge1 são zero, logo a soma é 1 e a série converge em x=0. Não há outros extremos a testar porque não existe intervalo não-trivial centrado em zero com raio positivo.

Resposta

R=0
I=\{0\}

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