Questão 1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo é séries de potências. Para o raio vamos usar o teste da raiz (ou razão) e, para os extremos
, usamos testes de convergência de séries numéricas (teste da integral ou comparação).
Passo 2
Observe que se definirmos
, a série fica
Aplicando o teste da raiz,
Logo converge se
e diverge se
.
Passo 3
Do resultado
e lembrando que
, obtemos
Portanto o raio de convergência é
Passo 4
Em
a série vira
que é convergente por comparação com a integral de
(ou pelo critério de séries
, que converge se
). Logo converge em
.
Passo 5
Em
temos
, logo a série também se reduz a
que converge da mesma forma. Assim inclui-se
.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: