Questão 1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.
sumn=2^infty x^2 nn(ln (n))^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=2^infty x^2nn(ln n)^2
O conteúdo é séries de potências. Para o raio vamos usar o teste da raiz (ou razão) e, para os extremos ,x=pm1, usamos testes de convergência de séries numéricas (teste da integral ou comparação).

Passo 2

Observe que se definirmos y=x^2, a série fica
sumn=2^inftyy^nn(ln n)^2
Aplicando o teste da raiz,
limntoinftyraiz[n]|y|^nn(ln n)^2 =;|y|;cdotlimntoinfty1raiz[n]n(ln n)^2 =|y|cdot1=|y|
Logo converge se |y|<1 e diverge se |y|>1.

Passo 3

Do resultado |y|<1 e lembrando que y=x^2, obtemos
|x|^2<1Long<=ftrightarrow |x|<1
Portanto o raio de convergência é
R=1

Passo 4

Em x=1 a série vira
sumn=2^infty1n(ln n)^2,
que é convergente por comparação com a integral de 1/(t(ln t)^2) (ou pelo critério de séries sum1/(n(ln n)^p), que converge se p>1). Logo converge em x=1.

Passo 5

Em x=-1 temos (-1)^2n=1, logo a série também se reduz a
sumn=2^infty1n(ln n)^2,
que converge da mesma forma. Assim inclui-se x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].

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