Para cada série dada abaixo, determine: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define a função f^{\prime} seu raio de convergência; (c) o domínio de f^{\prime} : f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{n}}{n^{2}},
que é centrada em x_{0}=-1. O conteúdo envolve determinar o raio de convergência pelo teste da razão, depois derivar termo a termo para obter f' e analisar o raio e o domínio de f'.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão a \displaystyle a_{n}=\frac{(x+1)^{n}}{n^{2}}. Calculamos