Para cada série dada abaixo, determine: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define a função f^{\prime} seu raio de convergência; (c) o domínio de f^{\prime} :
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{n}}{n^{2}},
que é centrada em x_{0}=-1. O conteúdo envolve determinar o raio de convergência pelo teste da razão, depois derivar termo a termo para obter f' e analisar o raio e o domínio de f'.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão a
\displaystyle a_{n}=\frac{(x+1)^{n}}{n^{2}}. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{n^{2}}{(x+1)^{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}|x+1|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =|x+1|.
A série converge se L<1, isto é |x+1|<1. Logo o raio de convergência é
R=1
e, como série de potências, o domínio interno de convergência é -2<x<0. Agora checamos os extremos:
  • Para x=-2, temos (x+1)^{n}=(-1)^{n} e a série fica \sum(-1)^{n}/n^{2}, que converge absolutamente (p-série com p=2).
  • Para x=0, temos \sum1/n^{2}, que também converge.
    Portanto o domínio de f é
D_{f}=[-2,0].

Passo 3

Derivando termo a termo, para n\ge1:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{(x+1)^{n}}{n^{2}}\Bigr) =\frac{n\,(x+1)^{n-1}}{n^{2}} =\frac{(x+1)^{n-1}}{n}.
Assim
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{n-1}}{n}.
O raio de convergência de f' é o mesmo de f, ou seja
R'=1.

Passo 4

Falta ver a convergência de f' nos extremos -2 e 0:
  • Em x=-2: (x+1)=-1 leva a \sum(-1)^{n-1}/n, que é a série harmônica alternada convergente.
  • Em x=0: (x+1)=1 leva a \sum1/n, que diverge.
    Logo o domínio de f' é
D_{f'}=[-2,0).

Resposta

(a) O raio de convergência de f é R=1 e o domínio de f é [-2,0].
(b) A série de potências de f' é
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{n-1}}{n},
com raio de convergência R'=1.
(c) O domínio de f' é [-2,0).

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