Determine o intervalo de convergência das séries dadas:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 2 n} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^{2n+1}.
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência por teste da razão e depois verificar o comportamento nos pontos de fronteira x=\pm1.

Passo 2

Vamos escrever o coeficiente geral
a_n = (-1)^{n}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^{2n+1}.
Note que
\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)} =\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} =\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}.
Para o teste da razão, calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}/4^{\,n+1}}{\binom{2n}{n}/4^n}\,\bigl|x\bigr|^2 =\frac{2n+1}{2n+2}\,\bigl|x\bigr|^2 \;\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\;\bigl|x\bigr|^2.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Logo o raio de convergência é R=1 e a série converge absolutamente em (-1,1).

Passo 4

Faltam analisar os extremos x=1 e x=-1.
  1. Em x=1 o termo geral vira
(-1)^n\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\,,
que tem sinal alternado e módulo \binom{2n}{n}/4^n\sim1/\sqrt{\pi n}\to0, decrescente para n grande. Pelo critério de Leibniz, a série converge condicionalmente.
2. Em x=-1 temos
(-1)^n\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}(-1)^{2n+1} =(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n},
de novo alternada com módulo decrescente a zero, logo converge condicionalmente pelo mesmo critério.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,\,1].

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