Determine o intervalo de convergência das séries dadas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n-1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n-1}.
Aqui o conteúdo principal é determinar o raio (e, portanto, o intervalo) de convergência usando o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Definimos o termo geral
u_n = \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n-1}.
Para aplicar o teste da razão, calculamos a razão dos módulos dos termos consecutivos:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|.

Passo 3

Escrevendo explicitamente,
|u_{n+1}| = \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+2)!}, \quad |u_n| = \frac{|x|^{2n-1}}{(2n)!}.
Logo,
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{|x|^{2n+1}/(2n+2)!}{|x|^{2n-1}/(2n)!} = \frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como esse limite é menor que 1 para todo valor de x, a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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