Para cada série dos exercícios 13 a 16, use a sequência de somas parciais para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usar a sequência de somas parciais para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é aplicação de soma de séries reais por meio de somas parciais e análise de seu limite conforme
. Vamos encontrar uma expressão fechada para
e então estudar .
e então estudar
Passo 2
Decompondo o termo geral, note que
Isso facilita a soma, pois
Passo 3
Calculando cada soma separadamente:
e, para a segunda,
onde
é o
-ésimo número harmônico.
Passo 4
Substituindo em
, temos
Como
cresce sem limite (embora lentamente), o termo dominante em
é
. Logo
Passo 5
Já que
, a sequência de somas parciais não converge a um número finito. Portanto a série diverge.
Resposta
A série diverge.