Para cada série dos exercícios 13 a 16, use a sequência de somas parciais para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty nn+2

Passo 1

O enunciado pede para usar a sequência de somas parciais para estudar a convergência da série
sumn=1^inftynn+2
O conteúdo aqui é aplicação de soma de séries reais por meio de somas parciais e análise de seu limite conforme Ntoinfty. Vamos encontrar uma expressão fechada para
SN=sumn=1^Nnn+2
e então estudar limNtoinftySN.

Passo 2

Decompondo o termo geral, note que
nn+2 =1 - 2n+2
Isso facilita a soma, pois
SN =sumn=1^Nl(1 - 2n+2r) =sumn=1^N1 ;-;2sumn=1^N1n+2

Passo 3

Calculando cada soma separadamente:
sumn=1^N1 = N,
e, para a segunda,
sumn=1^N1n+2 =sumk=3^N+21k =HN+2-l(1+tfrac12r) =HN+2-tfrac32,
onde Hm=sumk=1^m1k é o m-ésimo número harmônico.

Passo 4

Substituindo em SN, temos
SN = N ;-;2l(HN+2-tfrac32r) = N - 2,HN+2 +3
Como HN+2simln(N+2)+gamma cresce sem limite (embora lentamente), o termo dominante em SN é N. Logo
limNtoinftySN = limNtoinftyl(N - 2HN+2 +3r) = +infty

Passo 5

Já que SNto+infty, a sequência de somas parciais não converge a um número finito. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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