Nos exercícios 9-12, calcule o termo geral an da série com a soma parcial dada Sn. Se a sequência de somas parciais convergir, encontre seu limite S.
Sn=2-n+22^n, n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa encontrar o termo geral an de uma série cuja soma parcial é dada por Sn = 2 - n+22^n . Além disso, se a sequência das somas parciais Sn converge, a gente também tem que descobrir qual é o seu limite S .
Matéria envolvida: Sucessões e séries, especificamente a relação entre a soma parcial e o termo geral de uma série.
O que precisamos: Saber como relacionar Sn com an e entender o conceito de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o termo geral an a partir da soma parcial Sn . A ideia é que cada termo an é a diferença entre duas somas parciais consecutivas:
an = Sn - Sn-1
Isso porque Sn é a soma dos primeiros n termos, e Sn-1 é a soma dos primeiros n-1 termos. Subtraindo essas duas, sobra exatamente o n -ésimo termo.

Passo 3

Agora, vamos substituir Sn e Sn-1 na fórmula acima:
an = (2 - n + 22^n) - (2 - (n-1) + 22^n-1)
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Simplificando a expressão:
an = 2 - n + 22^n - 2 + (n + 1)2^n-1
Os 2 e -2 se cancelam:
an = - n + 22^n + n + 12^n-1
Agora, vamos ajustar o denominador do segundo termo para que fique igual ao primeiro:
n + 12^n-1 = 2(n + 1)2^n
Então:
an = - n + 22^n + 2(n + 1)2^n = - (n + 2) + 2(n + 1)2^n
Simplificando o numerador:
- (n + 2) + 2(n + 1) = -n - 2 + 2n + 2 = n
Portanto:
an = n2^n

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência das somas parciais Sn converge e, em caso positivo, encontrar seu limite S .
Dado que:
Sn = 2 - n + 22^n
Queremos calcular:
limn to infty Sn = limn to infty (2 - n + 22^n)
Sabemos que n + 22^n tende a zero quando n tende ao infinito, porque o denominador cresce exponencialmente mais rápido que o numerador.
Então:
limn to infty Sn = 2 - 0 = 2

Resposta

O termo geral da série é an = n2^n e o limite da sequência das somas parciais é S = 2 .

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