Nos exercícios 9-12, calcule o termo geral
da série com a soma parcial dada
. Se a sequência de somas parciais convergir, encontre seu limite
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa encontrar o termo geral
de uma série cuja soma parcial é dada por
. Além disso, se a sequência das somas parciais
converge, a gente também tem que descobrir qual é o seu limite
.
Matéria envolvida: Sucessões e séries, especificamente a relação entre a soma parcial e o termo geral de uma série.
O que precisamos: Saber como relacionar
com
e entender o conceito de limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o termo geral
a partir da soma parcial
. A ideia é que cada termo
é a diferença entre duas somas parciais consecutivas:
Isso porque
é a soma dos primeiros
termos, e
é a soma dos primeiros
termos. Subtraindo essas duas, sobra exatamente o
-ésimo termo.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula acima:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Os
e
se cancelam:
Agora, vamos ajustar o denominador do segundo termo para que fique igual ao primeiro:
Então:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência das somas parciais
converge e, em caso positivo, encontrar seu limite
.
Dado que:
Queremos calcular:
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, porque o denominador cresce exponencialmente mais rápido que o numerador.
Então:
Resposta
O termo geral da série é
e o limite da sequência das somas parciais é
.