Use the Comparison Test to determine whether each series in exercises 1 - 13 converges or diverges.
sumn=1^infty an where an=2n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teste de Comparação para descobrir se a série sumn=1^infty an, onde an = 2n(n+1), converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o Teste de Comparação e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de an. Temos:
an = 2n(n+1)
Podemos reescrever isso usando frações parciais:
2n(n+1) = 2n - 2n+1
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da série.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste de Comparação. Esse teste nos diz que se compararmos dois termos de séries, e uma é sempre menor ou igual à outra (quando os termos são positivos), então:
  • Se a série maior converge, a menor também converge.
  • Se a série menor diverge, a maior também diverge.
Para aplicar isso, precisamos encontrar uma série conhecida para comparar com a nossa.

Passo 4

Observando an = 2n(n+1), vemos que para todo n >= 1:
2n(n+1) < 2n^2
Isso porque n(n+1) > n^2, então o denominador maior faz o valor geral menor.

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é convergente. Especificamente, ela é conhecida como a Série de Basel, que converge para pi^26.

Passo 6

Como 2n(n+1) < 2n^2 e sum 2n^2 é uma série convergente (por ser uma constante múltiplo da Série de Basel), pelo Teste de Comparação, a nossa série sum 2n(n+1) também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n(n+1) converge pelo Teste de Comparação.

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