Use the Comparison Test to determine whether each series in exercises 1 - 13 converges or diverges.
where
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teste de Comparação para descobrir se a série
, onde
, converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o Teste de Comparação e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Temos:
Podemos reescrever isso usando frações parciais:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da série.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste de Comparação. Esse teste nos diz que se compararmos dois termos de séries, e uma é sempre menor ou igual à outra (quando os termos são positivos), então:
- Se a série maior converge, a menor também converge.
- Se a série menor diverge, a maior também diverge.
Para aplicar isso, precisamos encontrar uma série conhecida para comparar com a nossa.
Passo 4
Observando
, vemos que para todo
:
Isso porque
, então o denominador maior faz o valor geral menor.
Passo 5
Sabemos que a série
é convergente. Especificamente, ela é conhecida como a Série de Basel, que converge para
.
Passo 6
Como
e
é uma série convergente (por ser uma constante múltiplo da Série de Basel), pelo Teste de Comparação, a nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação.