1. Sabendo que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=1 e \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6^{k}}=\frac{1}{5}, encontre o valor das seguintes séries
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}} e \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas séries infinitas, e nos fornece duas somas conhecidas que podemos usar. Vou listar claramente o que é pedido e o que já foi dado:
  • Calcular a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}}.
  • Calcular a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right).
Informações fornecidas no enunciado (que podem ser usadas):
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1.
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6^{k}} = \frac{1}{5}.

Passo 2

Cálculo da primeira série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}}.
Primeiro, simplificar a expressão fatorando o 7:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}} = 7\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k-1}.
Essa é uma série geométrica. Lembra da fórmula da soma de uma série geométrica infinita? Vou explicar direitinho: se a é o primeiro termo e r é a razão, então
\text{se } |r|<1,\qquad \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} = \frac{a}{1-r}.
Aqui a é o termo correspondente a n=0. No nosso caso, a soma já está escrita começando em k=1 com potência k-1, então o primeiro termo (quando k=1) é \left(\tfrac{1}{6}\right)^{0}=1. Ou seja, podemos reindexar com j=k-1 e obter
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k-1} = \sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{j}.
Aplicando a fórmula com a=1 e r=\tfrac{1}{6}, (e verificando que |r|=\tfrac{1}{6}<1, logo a soma converge):
\sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{j} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{6}} = \frac{1}{\tfrac{5}{6}} = \frac{6}{5}.
Multiplicando pelo 7 que estava fora:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}} = 7\cdot\frac{6}{5} = \frac{42}{5}.

Passo 3

Cálculo da segunda série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right).
Usar linearidade: a soma da diferença é a diferença das somas (quando as séries convergem, e aqui convergem):
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(k+1)} \;-\; \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6^{k}}.
Vou calcular cada parte separadamente.
Parte A: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(k+1)}.
Perceba que \displaystyle \frac{1}{2k(k+1)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k(k+1)}. Assim
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(k+1)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}.
O enunciado já nos deu \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)} = 1. Mas vale a pena ver por que isso é 1 (explicação rápida e útil para prova): faz-se fração parcial
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1},
e então a soma parcial de k=1 até n telescopa:
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1.
Portanto
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(k+1)} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
Parte B: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6^{k}}.
O enunciado também já nos deu esse valor: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6^{k}} = \frac{1}{5}. (Alternativamente, via série geométrica com primeiro termo a=\tfrac{1}{6} e razão r=\tfrac{1}{6}: \sum_{k=1}^\infty \tfrac{1}{6^k} = \tfrac{1/6}{1-1/6} = \tfrac{1}{5}.)
Agora subtrai:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}.
Calcule a diferença em frações:
\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5-2}{10} = \frac{3}{10}.

Passo 4

Pequena verificação e comentário final (para dar segurança na hora da prova):
  • A primeira série é geométrica com razão \tfrac{1}{6}, convergente porque |\tfrac{1}{6}|<1.
  • A série com 1/(k(k+1)) é telescópica e converge (já demonstrado).
  • Subtrações de séries convergentes preservam convergência, então todos os passos são válidos.

Resposta

\displaystyle \frac{42}{5}
\displaystyle \frac{3}{10}

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