Sabendo que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=1 e \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6^{k}}=\frac{1}{5}, encontre o valor das seguintes séries
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}} e \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas séries infinitas, e nos fornece duas somas conhecidas que podemos usar. Vou listar claramente o que é pedido e o que já foi dado:
Calcular a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6^{k-1}}.
Calcular a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k(k+1)}-\frac{1}{6^{k}}\right).
Informações fornecidas no enunciado (que podem ser usadas):
Essa é uma série geométrica. Lembra da fórmula da soma de uma série geométrica infinita? Vou explicar direitinho: se a é o primeiro termo e r é a razão, então
Aqui a é o termo correspondente a n=0. No nosso caso, a soma já está escrita começando em k=1 com potência k-1, então o primeiro termo (quando k=1) é \left(\tfrac{1}{6}\right)^{0}=1. Ou seja, podemos reindexar com j=k-1 e obter
O enunciado já nos deu \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)} = 1. Mas vale a pena ver por que isso é 1 (explicação rápida e útil para prova): faz-se fração parcial
Parte B: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6^{k}}.
O enunciado também já nos deu esse valor: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6^{k}} = \frac{1}{5}. (Alternativamente, via série geométrica com primeiro termo a=\tfrac{1}{6} e razão r=\tfrac{1}{6}: \sum_{k=1}^\infty \tfrac{1}{6^k} = \tfrac{1/6}{1-1/6} = \tfrac{1}{5}.)