Em cada Série de Potências a seguir; determine:
Qual o raio de convergência e o domínio de f;
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2n-1(2n-1)!
e pede o raio de convergência R e o domínio de definição de f. Vamos usar o teste da razão para achar R.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-1)^n-1,x^2n-1(2n-1)!,
e calculamos
|an+1an| = |x|^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!;g/;|x|^2n-1(2n-1)! = |x|^2n+1(2n+1)!cdot(2n-1)!|x|^2n-1 = |x|^22n(2n+1)

Passo 3

Fazendo ntoinfty, obtemos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^22n(2n+1)=0
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para qualquer xinR. Logo
R = infty

Passo 4

O domínio de f é o conjunto de todos os x em que a série converge, isto é
(-R,R)=(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Domínio de f: (-infty,infty).

Exercícios relacionados