O enunciado pede a série de Taylor de em torno de . Para isso usamos a definição de série de Taylor:
Aqui temos e precisamos calcular .
Passo 2
As derivadas de ciclam a cada : , , , , , ···
Em vale e .
Logo os valores são, para :
Passo 3
Substituindo na fórmula de Taylor:
sin x =sumn=0^inftyf^(n)l(pi6r)n!l(x-tfracpi6r)^n
Os primeiros termos são
sin x =12 +raiz32l(x-tfracpi6r) -12cdot2!l(x-tfracpi6r)^2 -raiz32cdot3!l(x-tfracpi6r)^3 +12cdot4!l(x-tfracpi6r)^4 +cdots
Passo 4
Observando o ciclo de período 4, podemos agrupar por blocos de quatro potências e escrever a forma geral:
sin x =summ=0^inftyl[ (-1)^m2,(4m)!l(x-tfracpi6r)^4m +(-1)^m,raiz32,(4m+1)!l(x-tfracpi6r)^4m+1 -(-1)^m2,(4m+2)!l(x-tfracpi6r)^4m+2 -(-1)^m,raiz32,(4m+3)!l(x-tfracpi6r)^4m+3 r]
Resposta
sin x =12 +raiz32l(x-pi6r) -14l(x-pi6r)^2 -raiz312l(x-pi6r)^3 +148l(x-pi6r)^4 +cdots