Encontre a série de Taylor de f(x)=sen x em a=pi / 6.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=sin x em torno de a=pi6. Para isso usamos a definição de série de Taylor:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Aqui temos a=pi6 e precisamos calcular f^(n)l(tfracpi6r).

Passo 2

As derivadas de sin x ciclam a cada 4:
;f(x)=sin x,
;f'(x)=cos x,
;f''(x)=-sin x,
;f'''(x)=-cos x,
;f^(4)(x)=sin x, ···
Em x=pi6 vale
sinpi6=12 e cospi6=raiz32.
Logo os valores são, para nequiv0,1,2,3pmod4:
f^(n)l(tfracpi6r)= 12, & nequiv0, raiz32, & nequiv1, -12, & nequiv2, -raiz32, & nequiv3

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor:
sin x =sumn=0^inftyf^(n)l(pi6r)n!l(x-tfracpi6r)^n
Os primeiros termos são
sin x =12 +raiz32l(x-tfracpi6r) -12cdot2!l(x-tfracpi6r)^2 -raiz32cdot3!l(x-tfracpi6r)^3 +12cdot4!l(x-tfracpi6r)^4 +cdots

Passo 4

Observando o ciclo de período 4, podemos agrupar por blocos de quatro potências e escrever a forma geral:
sin x =summ=0^inftyl[ (-1)^m2,(4m)!l(x-tfracpi6r)^4m +(-1)^m,raiz32,(4m+1)!l(x-tfracpi6r)^4m+1 -(-1)^m2,(4m+2)!l(x-tfracpi6r)^4m+2 -(-1)^m,raiz32,(4m+3)!l(x-tfracpi6r)^4m+3 r]

Resposta

sin x =12 +raiz32l(x-pi6r) -14l(x-pi6r)^2 -raiz312l(x-pi6r)^3 +148l(x-pi6r)^4 +cdots

Exercícios relacionados