Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, lembrando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
Se $ L < 1 $, a série converge. Se $ L > 1 $, diverge. E se $ L = 1 $, o teste não conclui.
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa série:
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
Passo 4
Agora, vamos montar a razão $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 6
Como $ L = 0 < 1 $, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de $ x $.
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é $ (-\infty, +\infty) $.