Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, lembrando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge. Se $ L > 1 $, diverge. E se $ L = 1 $, o teste não conclui.

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa série:
an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
an+1

Passo 4

Agora, vamos montar a razão $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
| an+1an |
Simplificando:
| an+1an | = | (-1)^n+2 x^2n+1(2n+1)!(-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)! | = | x^2n+1x^2n-1 cdot (2n-1)!(2n+1)! |

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 6

Como $ L = 0 < 1 $, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de $ x $.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é $ (-\infty, +\infty) $.

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