Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=2^infty(-1)^n+1 x^nn cdot(ln n)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty(-1)^n+1x^nn(ln n)^2
O conteúdo principal é análise de séries de potências: usamos o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) para o raio e depois verificamos a convergência nos extremos por testes de convergência de séries numéricas.

Passo 2

Para calcular o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz de Cauchy–Hadamard. Definindo an = 1/[n(ln n)^2], temos:

Passo 3

limsupntoinftyraiz[n]|an| =limntoinfty1l(n(ln n)^2r)^1/n =1
Logo, o raio de convergência é R=1/1=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos. Para x=1 a série vira
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2
Como 1/[n(ln n)^2] é positiva, decrescente para n>=2 e tende a zero, pelo teste da série alternante (Leibniz) ela converge. Além disso, a série de termos positivos
sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge pelo teste integral ( integral2^infty!dx/[x(ln x)^2]), então há convergência absoluta em x=1.

Passo 5

Para x=-1 substituímos e obtemos
sumn=2^infty(-1)^n+1(-1)^nn(ln n)^2 =sumn=2^infty(-1)^2n+11n(ln n)^2 =-sumn=2^infty1n(ln n)^2
Como sum1/[n(ln n)^2] converge (teste integral), essa série converge absolutamente em x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R = 1; Intervalo de convergência: [–1, 1]

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