Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal é análise de séries de potências: usamos o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) para o raio e depois verificamos a convergência nos extremos por testes de convergência de séries numéricas.
Passo 2
Para calcular o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz de Cauchy–Hadamard. Definindo
, temos:
Passo 3
Logo, o raio de convergência é
.
Passo 4
Agora testamos os extremos. Para
a série vira
Como
é positiva, decrescente para
e tende a zero, pelo teste da série alternante (Leibniz) ela converge. Além disso, a série de termos positivos
converge pelo teste integral (
), então há convergência absoluta em
.
Passo 5
Para
substituímos e obtemos
Como
converge (teste integral), essa série converge absolutamente em
.
Resposta
Raio de convergência: R = 1; Intervalo de convergência: [–1, 1]